Matematică Trigonometrie
Unghiul dintre doua plane formula clasa 11
Unghiul dintre două plane în spațiu se calculează cu formula cos φ = |n₁·n₂|/(||n₁||·||n₂||), unde n₁ și n₂ sunt vectorii normali ai planelor. În clasa a XI-a, această formulă derivă din produsul scalar al vectorilor normali. Ea măsoară cel mai mic unghi dintre plane, între 0° și 90°.
Pași pentru calcul
- 1 Identifică vectorii normali Pentru planul α: ax + by + cz + d = 0, vectorul normal este n₁ = (a, b, c). Pentru planul β: a'x + b'y + c'z + d' = 0, n₂ = (a', b', c').
- 2 Calculează produsul scalar n₁·n₂ = a·a' + b·b' + c·c'. Exemplu: pentru n₁ = (1, 2, 3) și n₂ = (4, -1, 2), n₁·n₂ = 1·4 + 2·(-1) + 3·2 = 8.
- 3 Calculează modulele ||n₁|| = √(a² + b² + c²), ||n₂|| = √(a'² + b'² + c'²). Pentru n₁ = (1, 2, 3), ||n₁|| = √(1+4+9) = √14.
- 4 Aplică formula cos φ = |n₁·n₂|/(||n₁||·||n₂||). Unghiul φ = arccos(cos φ).
Exemplu numeric
- Date inițiale Planul α: 2x - y + 3z = 5, n₁ = (2, -1, 3). Planul β: x + 4y - z = 0, n₂ = (1, 4, -1).
- Produs scalar n₁·n₂ = 2·1 + (-1)·4 + 3·(-1) = 2 - 4 - 3 = -5, deci |n₁·n₂| = 5.
- Module ||n₁|| = √(4+1+9) = √14 ≈ 3.74, ||n₂|| = √(1+16+1) = √18 ≈ 4.24.
- Rezultat cos φ = 5/(3.74·4.24) ≈ 0.315, φ = arccos(0.315) ≈ 71.6°.
Verifică întotdeauna dacă vectorii normali sunt corect extrași din ecuațiile planelor.