Matematică Trigonometrie
Demonstratii trigonometrice clasa 9
Demonstrațiile trigonometrice în clasa a 9-a implică egalități cu funcții sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ele se bazează pe formulele fundamentale și transformări algebrice. Obiectivul este să arăți că o egalitate este adevărată pentru orice unghi permis.
Metode de demonstrație
- Folosirea formulelor fundamentale Începe cu sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα, ctgα = cosα/sinα. Exemplu: Demonstrează că 1 + tg²α = 1/cos²α. Rezolvare: tg²α = sin²α/cos²α, aduci la același numitor cos²α.
- Transformarea ambilor membri Simplifică fiecare parte a egalității până obții aceeași expresie. Pentru (sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα, dezvolți pătratul: sin²α + 2sinαcosα + cos²α = 1 + 2sinαcosα.
- Substituții cu unghiuri complementare Folosește sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα. Demonstrează că tg(90°-α)=ctgα: tg(90°-α)=sin(90°-α)/cos(90°-α)=cosα/sinα=ctgα.
Exercițiu rezolvat pas cu pas
- 1 Enunț Demonstrează că (sinα - cosα)² + (sinα + cosα)² = 2.
- 2 Pasul 1: Dezvoltă pătratele (sinα - cosα)² = sin²α - 2sinαcosα + cos²α. (sinα + cosα)² = sin²α + 2sinαcosα + cos²α.
- 3 Pasul 2: Adună expresiile Suma: sin²α - 2sinαcosα + cos²α + sin²α + 2sinαcosα + cos²α = 2sin²α + 2cos²α.
- 4 Pasul 3: Aplică formula fundamentală 2sin²α + 2cos²α = 2(sin²α + cos²α) = 2·1 = 2. Egalitatea este demonstrată.
Exersează cu exerciții simple, verificând domeniul de definiție pentru tangentă și cotangentă.