Matematică Probabilități și statistică
Dezvoltarea binomului lui Newton exemple
Dezvoltarea binomului lui Newton exprimă puterea (a + b)^n ca o sumă de termeni de forma C(n,k) * a^(n-k) * b^k. Această formulă este utilă în algebra de liceu pentru calcul rapid și demonstrații. Se bazează pe coeficienții binomiali din triunghiul lui Pascal.
Formula și explicația
- Formula generală (a + b)^n = Σ de la k=0 la n a C(n,k) * a^(n-k) * b^k, unde C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) este combinări de n luate câte k.
- Termenul general T(k+1) = C(n,k) * a^(n-k) * b^k. Acesta este termenul de rang k+1 în dezvoltare, numerotarea începând de la 1.
- Coeficienții binomiali C(n,k) sunt simetrici: C(n,k) = C(n,n-k). Suma lor pentru k=0 la n este 2^n.
Exemple numerice
- 1 Pasul 1: Pentru (x + 2)^3 Aplică formula cu n=3, a=x, b=2: (x+2)^3 = C(3,0)*x^3*2^0 + C(3,1)*x^2*2^1 + C(3,2)*x^1*2^2 + C(3,3)*x^0*2^3.
- 2 Pasul 2: Calculează coeficienții C(3,0)=1, C(3,1)=3, C(3,2)=3, C(3,3)=1. Înlocuiește: 1*x^3*1 + 3*x^2*2 + 3*x*4 + 1*1*8.
- 3 Pasul 3: Simplifică Rezultat: x^3 + 6x^2 + 12x + 8. Verifică prin înmulțire directă: (x+2)(x+2)(x+2) dă același lucru.
Memorează formula și exersează cu valori simple pentru a înțelege structura termenilor.