Matematică Probabilități și statistică
Binomul lui Newton formula generala
Binomul lui Newton oferă formula de dezvoltare a puterii (a+b)^n, unde n este un număr natural. Formula generală este (a+b)^n = Σ_{k=0}^{n} C(n,k) * a^(n-k) * b^k. Aceasta este esențială în algebră pentru calcul rapid și în probabilități pentru distribuția binomială.
Formula și termeni
- Forma generală (a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ... + C(n,n)a^0 b^n. Coeficienții C(n,k) sunt numerele din triunghiul lui Pascal.
- Exemplu pentru n=3 (a+b)^3 = C(3,0)a^3 b^0 + C(3,1)a^2 b^1 + C(3,2)a^1 b^2 + C(3,3)a^0 b^3 = 1*a^3 + 3*a^2 b + 3*a b^2 + 1*b^3.
- Termenul general Termenul de rang k+1 este T_{k+1} = C(n,k) * a^(n-k) * b^k, cu k de la 0 la n.
Aplicații practice
- Calcul rapid Pentru (2x+3)^2, aplicând binomul: (2x)^2 + 2*(2x)*3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9.
- Distribuția binomială În probabilități, (p+q)^n cu p+q=1 dă probabilitățile pentru distribuția binomială, unde p este probabilitatea de succes și q de eșec.
- Aproximări Pentru valori mici ale lui b, (a+b)^n ≈ a^n + n*a^(n-1)*b, folosind doar primii doi termeni ai dezvoltării.
Memorează coeficienții din triunghiul lui Pascal pentru n mic și folosește formula pentru a evita calculele lungi de puteri.