Matematică Geometrie
Volumul sferei formula demonstratie
Volumul unei sfere cu raza r se calculează cu formula V = (4πr³)/3. Această formulă derivă din integrarea volumului unor discuri infinitezimale. Demonstrația implică calculul integral al volumului de rotație al unui semicerc.
Demonstrație geometrică
- Sfera ca rotație Sfera se obține rotind un semicerc de rază r în jurul axei Ox. Ecuația cercului este x² + y² = r².
- Metoda discurilor Volumul se calculează integrand ariile discurilor cu raza y și grosime dx: V = ∫πy² dx.
- Integrarea Pentru x de la -r la r, y² = r² - x². V = π∫(r² - x²)dx = π[r²x - x³/3] de la -r la r.
Calcul final
- 1 Pasul 1 Înlocuim limitele: V = π[(r³ - r³/3) - (-r³ + r³/3)].
- 2 Pasul 2 Simplificăm: V = π[(2r³/3) - (-2r³/3)] = π(4r³/3).
- 3 Pasul 3 Rezultatul este V = (4πr³)/3.
Pentru o sferă cu r=3 cm, volumul este V = (4π·27)/3 = 36π cm³ ≈ 113,1 cm³.