Matematică Geometrie
Volum corp de rotatie calcul cu integrale
Volumul unui corp de rotație se calculează cu integrale definite, aplicând formula discului sau a inelului. Pentru o funcție f(x) continuă pe [a, b], rotită în jurul axei Ox, volumul este V = π ∫[a,b] [f(x)]² dx.
Metoda discului pentru rotație în jurul axei Ox
- 1 Pasul 1: Definirea funcției și intervalului Identificați funcția f(x) care generează corpul și intervalul [a, b] pe care se rotește. Exemplu: f(x) = √x pe [0, 4].
- 2 Pasul 2: Aplicarea formulei volumului V = π ∫[a,b] [f(x)]² dx. Pentru f(x) = √x, V = π ∫[0,4] x dx.
- 3 Pasul 3: Calculul integralei ∫ x dx = x²/2. Evaluat de la 0 la 4: (16/2) - 0 = 8. Deci V = 8π unități cubice.
Cazuri speciale și exemple
- Rotație în jurul axei Oy Folosiți formula V = π ∫[c,d] [g(y)]² dy, unde x = g(y) este funcția inversă.
- Corp cu gol (metoda inelului) Dacă se rotește aria dintre două curbe f(x) și g(x), V = π ∫[a,b] ([f(x)]² - [g(x)]²) dx.
- Exemplu numeric cu inel Fie f(x) = x, g(x) = x² pe [0,1]. V = π ∫[0,1] (x² - x⁴) dx = π [x³/3 - x⁵/5] de la 0 la 1 = π(1/3 - 1/5) = 2π/15.
Verificați întotdeauna dacă funcția este pozitivă pe interval pentru a evita erori la pătrat.