Matematică Geometrie
Serii numerice criterii de convergenta clasa 12
O serie numerică ∑a_n este convergentă dacă șirul sumelor parțiale are limită finită. Criteriile de convergență testează această proprietate fără a calcula suma direct.
Criterii de comparație
- Criteriul majorării Dacă 0 ≤ a_n ≤ b_n și ∑b_n converge, atunci ∑a_n converge. Exemplu: a_n=1/n², b_n=1/n² (cunoscut convergent).
- Criteriul minorării Dacă a_n ≥ b_n ≥ 0 și ∑b_n diverge, atunci ∑a_n diverge. Exemplu: a_n=1/n, b_n=1/(n+1) (seria armonică diverge).
- Criteriul comparației la limită Dacă lim (a_n/b_n)=L>0 finit, atunci ∑a_n și ∑b_n au aceeași natură. Exemplu: a_n=1/(n²+1), b_n=1/n².
Criterii pentru serii cu termeni pozitivi
- Criteriul raportului (d'Alembert) Calculează L=lim (a_{n+1}/a_n). Dacă L<1 converge, L>1 diverge, L=1 nedecis.
- Criteriul rădăcinii (Cauchy) Calculează L=lim √[n](a_n). Dacă L<1 converge, L>1 diverge, L=1 nedecis.
- Criteriul integral (Cauchy) Dacă f(x) descrescătoare și pozitivă, ∑a_n și ∫[1,∞) f(x)dx au aceeași natură. Exemplu: seria armonică generalizată.
Începe întotdeauna cu verificarea condiției necesare: dacă lim a_n ≠ 0, seria diverge.