Matematică Geometrie
Probleme cu teorema celor trei perpendiculare
Teorema celor trei perpendiculare afirmă că, dacă dintr-un punct exterior unui plan se duce o perpendiculară pe plan și o oblică la o dreaptă din plan, atunci piciorul perpendicularei pe plan este piciorul perpendicularei de la punct la dreaptă. Ea simplifică demonstrația perpendicularității în spațiu. Se aplică în probleme de geometrie în spațiu pentru a găsi distanțe sau unghiuri.
Enunț și elemente
- Enunțul teoremei Fie A un punct exterior planului α, AB perpendicular pe α (B în α), BC perpendicular pe o dreaptă d în α (C pe d). Atunci AC este perpendicular pe d.
- Elemente cheie AB – perpendiculară pe plan, BC – perpendiculară pe dreaptă în plan, AC – perpendiculară pe dreaptă în spațiu. Aceasta reduce problema la două perpendiculare în plan.
- Reciproca Dacă AC este perpendicular pe d și AB este perpendicular pe α, atunci BC este perpendicular pe d. Folosește pentru a demonstra apartenența la plan.
- Exemplu simplu Într-un cub ABCDA'B'C'D', punctul A este exterior planului BCC'B'. AB perpendicular pe plan (B în plan), BC perpendicular pe BC' (în plan). Atunci AC perpendicular pe BC'.
Problemă tipică rezolvată
- 1 Enunț Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 6 cm, AC = 8 cm. Prin A se ridică perpendiculara AD pe planul (ABC), cu AD = 10 cm. Demonstrează că DC este perpendicular pe BC.
- 2 Identifică elementele AD perpendicular pe planul (ABC) – prima perpendiculară. AB perpendicular pe AC (în plan) – a doua perpendiculară (dar trebuie ajustat pentru BC).
- 3 Aplică teorema AD perpendicular pe (ABC), D proiectia lui A. Pentru DC perpendicular pe BC, folosește că AC este perpendicular pe BC în plan? Nu, corect: în triunghiul ABC, BC este ipotenuza. Mai bine: din A, ducem AE perpendicular pe BC în plan (E pe BC). Atunci, prin teorema, DE perpendicular pe BC.
- 4 Rezolvare corectă În planul (ABC), din A ducem AE perpendicular pe BC. AD perpendicular pe (ABC), deci prin teorema celor trei perpendiculare, DE perpendicular pe BC. Dar problema cere DC perpendicular pe BC – se poate demonstra folosind că triunghiul DBC este dreptunghic în C dacă DC perpendicular pe BC, ceea ce necesită calcule suplimentare cu teorema lui Pitagora.
Desenează clar cele trei perpendiculare și identifică planul pentru a aplica teorema corect.