Matematică Geometrie
Probabilitati conditionate exercitii
Probabilitățile condiționate se calculează cu formula P(A|B) = P(A∩B)/P(B), unde P(B)>0. Ele arată șansa ca evenimentul A să se producă, știind că B s-a produs deja. De exemplu, probabilitatea de a extrage un as dintr-un pachet de cărți, știind că cartea extrasă este roșie.
Exercițiu tipic: bile din urnă
- 1 Enunț Într-o urnă sunt 5 bile albe și 3 bile negre. Se extrag două bile fără a le pune înapoi. Care este probabilitatea ca a doua bilă să fie albă, știind că prima a fost neagră?
- 2 Rezolvare pas 1 Evenimentul B: prima bilă este neagră. P(B) = 3/8.
- 3 Rezolvare pas 2 Evenimentul A∩B: prima bilă neagră și a doua albă. Numărul cazuri favorabile: 3 (negre) × 5 (albe) = 15. Numărul total de perechi: 8×7 = 56. Deci P(A∩B) = 15/56.
- 4 Rezolvare pas 3 P(A|B) = (15/56) / (3/8) = (15/56) × (8/3) = 120/168 = 5/7 ≈ 0.714.
Proprietăți și formule utile
- Regula înmulțirii P(A∩B) = P(A|B) × P(B). Dacă A și B sunt independente, P(A|B) = P(A).
- Teorema lui Bayes P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B), folosită pentru a revizui probabilități pe baza informațiilor noi.
- Exemplu numeric Dacă P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 și P(A∩B) = 0.2, atunci P(A|B) = 0.2/0.5 = 0.4.
Pentru exerciții, identifică clar evenimentele A și B, apoi aplică formula P(A|B) = P(A∩B)/P(B).