Probabilitati conditionalitate formule

Formule și definiții

• Probabilitatea condiționată P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Exemplu: Într-un zar, P(număr par|număr>3)=P(număr par și >3)/P(>3)=P({4,6})/P({4,5,6})=(2/6)/(3/6)=2/3.
• Regula înmulțirii P(A∩B)=P(A|B)*P(B)=P(B|A)*P(A). Exemplu: Dacă P(A)=0.4 și P(B|A)=0.5, atunci P(A∩B)=0.4*0.5=0.2.
• Teorema lui Bayes P(A|B)=[P(B|A)*P(A)]/P(B), unde P(B)=P(B|A)*P(A)+P(B|A')*P(A'). Exemplu: Test medical cu P(bolnav)=0.01, P(pozitiv|bolnav)=0.99, P(pozitiv|sănătos)=0.05; P(bolnav|pozitiv)=[0.99*0.01]/[0.99*0.01+0.05*0.99]≈0.166.

Exemplu pas cu pas

1. 1
   Enunțul problemei Într-o urnă sunt 3 bile roșii și 2 bile albastre. Se extrag două bile fără revenire. Care este probabilitatea ca a doua bilă să fie roșie, știind că prima a fost albastră?
2. 2
   Definirea evenimentelor Fie A: prima bilă albastră, B: a doua bilă roșie. Calculăm P(B|A).
3. 3
   Calculul probabilităților P(A)=2/5 (2 albastre din 5 totale). După extragerea unei bile albastre, rămân 3 roșii și 1 albastră, deci P(B|A)=3/4.
4. 4
   Aplicarea formulei P(B|A)=P(A∩B)/P(A). P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=(2/5)*(3/4)=6/20=3/10. Atunci P(B|A)=(3/10)/(2/5)=(3/10)*(5/2)=15/20=3/4, confirmând calculul direct.