Matematică Geometrie
Integrale improprii convergenta
O integrală improprie este convergentă dacă limita care o definește există și este finită. Aceste integrale apar atunci când intervalul de integrare este infinit sau funcția are discontinuități infinite. Convergența se stabilește prin calculul limitei unei integrale definite.
Tipuri de integrale improprii
- Integrale cu limite infinite ∫_a^∞ f(x) dx = lim_{t→∞} ∫_a^t f(x) dx. Converge dacă limita este finită. Exemplu: ∫_1^∞ 1/x^2 dx converge la 1.
- Integrale cu discontinuități Dacă f este discontinuă în b, ∫_a^b f(x) dx = lim_{t→b^-} ∫_a^t f(x) dx. Exemplu: ∫_0^1 1/√x dx converge la 2.
- Criterii de convergență Comparație: dacă 0 ≤ f(x) ≤ g(x) și ∫ g converge, atunci ∫ f converge. Criteriul integral pentru serii: dacă f este descrescătoare și pozitivă, ∫_1^∞ f(x) dx converge dacă și numai dacă seria Σ f(n) converge.
Exemplu de calcul
- 1 Pasul 1: Analizați ∫_1^∞ 1/x dx Calculați limita: lim_{t→∞} ∫_1^t 1/x dx = lim_{t→∞} [ln x]_1^t = lim_{t→∞} (ln t - ln 1) = ∞.
- 2 Pasul 2: Interpretați rezultatul Limita este infinit, deci integrala diverge. Aceasta este integrala improprie clasică care diverge (seria armonică).
- 3 Pasul 3: Verificați ∫_0^1 1/√x dx Calcul: lim_{t→0^+} ∫_t^1 1/√x dx = lim_{t→0^+} [2√x]_t^1 = lim_{t→0^+} (2 - 2√t) = 2. Limita finită, integrala converge.
Pentru a testa convergența, calculați integrala ca limită. Dacă limita este un număr real, integrala converge; dacă este infinită sau nu există, diverge.