Matematică Geometrie
Integrale definite calcul arie
Integrala definită calculează aria sub graficul unei funcții pe un interval [a,b]. Formula este A=∫[a,b] f(x) dx, unde f(x)≥0 pe interval.
Metode de calcul
- Formula de bază Aria A=∫[a,b] f(x) dx. Exemplu: Pentru f(x)=x² pe [0,2], A=∫[0,2] x² dx=[x³/3] de la 0 la 2=8/3-0=8/3 unități pătrate.
- Funcții negative Dacă f(x)<0 pe interval, integrala dă aria cu semn negativ; aria geometrică este valoarea absolută. Pentru f(x)=-x pe [0,1], ∫[0,1] -x dx=-1/2, dar aria este 1/2.
- Aria între două curbe Aria între f(x) și g(x) pe [a,b] este A=∫[a,b] |f(x)-g(x)| dx. Exemplu: Între f(x)=x și g(x)=x² pe [0,1], A=∫[0,1] (x-x²) dx=[x²/2-x³/3] de la 0 la 1=1/2-1/3=1/6.
Exemplu complet rezolvat
- 1 Problema Calculează aria delimitată de graficul funcției f(x)=4-x² și axa Ox.
- 2 Găsirea limitelor de integrare Rezolvăm f(x)=0: 4-x²=0, deci x=±2. Intervalul este [-2,2].
- 3 Setarea integralei Aria A=∫[-2,2] (4-x²) dx, deoarece f(x)≥0 pe [-2,2].
- 4 Calculul integralei ∫ (4-x²) dx=4x-x³/3. Evaluăm de la -2 la 2: [4*2-2³/3]-[4*(-2)-(-2)³/3]=(8-8/3)-(-8+8/3)=8-8/3+8-8/3=16-16/3=(48-16)/3=32/3 unități pătrate.
Pentru a calcula aria cu integrala definită, asigură-te că funcția este nenegativă pe interval sau ia valoarea absolută a diferenței pentru arii între curbe.