Matematică Geometrie
Diferenta intre functie continua si derivabila
O funcție continuă are grafic fără întreruperi, în timp ce o funcție derivabilă are derivată finită în fiecare punct. Derivabilitatea implică continuitate, dar continuitatea nu garantează derivabilitatea. De exemplu, funcția f(x)=|x| este continuă peste tot, dar nu este derivabilă în x=0.
Definiții matematice
- Continuitate O funcție f este continuă într-un punct a dacă limita lui f(x) când x tinde la a este egală cu f(a). Formal: lim_{x→a} f(x) = f(a).
- Derivabilitate O funcție f este derivabilă în a dacă există limita raportului incremental: f'(a) = lim_{h→0} [f(a+h)-f(a)]/h, și această limită este finită.
- Relația dintre ele Dacă f este derivabilă în a, atunci este automat continuă în a. Reciproca nu este adevărată: o funcție poate fi continuă fără să fie derivabilă.
Exemple și contraexemple
- Funcție continuă și derivabilă f(x)=x^2 este continuă și derivabilă peste tot; derivata sa este f'(x)=2x.
- Funcție continuă, nedervabilă f(x)=|x| este continuă pe ℝ, dar în x=0 are un vârf, deci derivata nu există (limitele laterale diferă).
- Funcție discontinuă f(x)=1/x este discontinuă în x=0 (nu este definită acolo), deci nici derivabilă.
Pentru a verifica derivabilitatea, calculează mai întâi continuitatea; dacă funcția nu este continuă, sigur nu este derivabilă.