Matematică Geometrie
Criterii de convergenta integrale
Criteriile de convergență pentru integralele improprii ajută să stabilim dacă o integrală cu limite infinite sau cu funcții nemărginite are valoare finită. Cele mai folosite sunt criteriul comparației și criteriul limită.
Criterii pentru integrale de tipul ∫[a,∞) f(x)dx
- Criteriul comparației Dacă 0 ≤ f(x) ≤ g(x) și ∫[a,∞) g(x)dx converge, atunci și ∫[a,∞) f(x)dx converge. Dacă f(x) ≥ g(x) ≥ 0 și ∫[a,∞) g(x)dx diverge, atunci și ∫[a,∞) f(x)dx diverge.
- Criteriul comparației la limită Fie f(x), g(x) > 0. Dacă lim_(x→∞) f(x)/g(x) = L, cu 0 < L < ∞, atunci integralele au aceeași natură (ambele converg sau ambele diverg).
- Criteriul lui Abel-Dirichlet Pentru integrale de forma ∫[a,∞) f(x)g(x)dx, unde f este descrescătoare spre 0 și g are primitive mărginite, integrala converge.
Exemplu de aplicare
- 1 Pasul 1 Studiem convergența ∫[1,∞) 1/(x²+1) dx. Comparăm cu g(x)=1/x², știind că ∫[1,∞) 1/x² dx converge.
- 2 Pasul 2 Avem 0 ≤ 1/(x²+1) ≤ 1/x² pentru x≥1.
- 3 Pasul 3 Conform criteriului comparației, ∫[1,∞) 1/(x²+1) dx converge.
Pentru integrale cu singularități (ex: 1/√x pe [0,1]), aplică criteriile analog, comparând cu integrale de referință precum ∫ 1/x^p dx.