Matematică Geometrie
Calculul volumului unui corp de rotatie cu integrale
Volumul unui corp de rotație se calculează cu integrale definite. Când rotim o funcție în jurul unei axe, obținem un solid tridimensional. Formula generală depinde de axa de rotație și de funcția dată.
Formule de bază
- Rotație în jurul axei Ox Dacă rotim graficul funcției f(x) pe intervalul [a, b] în jurul axei Ox, volumul V = π∫[a,b] [f(x)]² dx.
- Rotație în jurul axei Oy Pentru rotație în jurul axei Oy, folosim V = π∫[c,d] [g(y)]² dy, unde g(y) este funcția inversă.
- Exemplu numeric Pentru f(x)=√x pe [0,4], V = π∫[0,4] x dx = π[x²/2] de la 0 la 4 = 8π unități cubice.
Pași de calcul
- 1 Identifică funcția și intervalul Stabilește funcția f(x) și limitele de integrare a și b.
- 2 Alege formula corectă Decide dacă rotația este în jurul axei Ox sau Oy și aplică formula potrivită.
- 3 Calculează integrala Rezolvă integrala definită, apoi înmulțește cu π.
Verifică întotdeauna domeniul funcției pentru a evita erori la integrare.