Matematică Alte teme
Transformari liniare proprietati si exemple clasa 11
Transformările liniare sunt aplicații între spații vectoriale care păstrează operațiile de adunare și înmulțire cu scalar. Ele au proprietăți importante și pot fi reprezentate prin matrice.
Proprietăți esențiale
- Aditivitatea T(u + v) = T(u) + T(v) pentru orice vectori u, v. Transformarea sumei este suma transformărilor.
- Omogenitatea T(α·u) = α·T(u) pentru orice scalar α și vector u. Transformarea unui scalar înmulțit cu vector este scalarul înmulțit cu transformarea.
- Element neutru T(0) = 0, unde 0 este vectorul nul. Transformarea vectorului nul dă vectorul nul.
Exemple comune
- Rotația în plan T: ℝ^2 → ℝ^2, T(x,y) = (x·cosθ - y·sinθ, x·sinθ + y·cosθ). Este liniară și se reprezintă printr-o matrice de rotație.
- Proiecția pe o axă T: ℝ^2 → ℝ^2, T(x,y) = (x,0). Proiectează vectorii pe axa Ox, păstrând doar componenta x.
- Dilatarea T: ℝ^2 → ℝ^2, T(x,y) = (2x, 2y). Mărește toți vectorii de 2 ori, este o transformare liniară cu matrice diagonală.
Pentru a verifica liniaritatea, testează cele două proprietăți pe vectori și scalari arbitrari.