Matematică Alte teme
Transformari liniare exemple si proprietati
O transformare liniară este o funcție T: V → W între spații vectoriale care păstrează operațiile de adunare și înmulțire cu scalar. Exemplu: T(x,y) = (2x, x+y) este liniară deoarece T(u+v) = T(u) + T(v) și T(αu) = αT(u) pentru orice vectori u, v și scalar α.
Proprietăți esențiale
- Aditivitatea T(u + v) = T(u) + T(v) pentru orice u, v în V.
- Omogenitatea T(αu) = αT(u) pentru orice scalar α și u în V.
- T(0) = 0 Transformarea aplicată vectorului nul dă vectorul nul în spațiul de sosire.
Exemple de transformări liniare
- Rotația în plan T(x,y) = (x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ) rotește vectorii cu unghiul θ.
- Proiecția pe axa Ox T(x,y) = (x,0) proiectează vectorii din ℝ² pe axa x.
- Dilatarea T(x,y) = (2x, 2y) mărește vectorii de 2 ori.
Pentru a verifica liniaritatea, testează proprietățile pe vectori concreti, cum ar fi u=(1,2) și v=(3,4).