Matematică Alte teme
Teoreme fundamentale de algebra
Teoremele fundamentale ale algebrei stabilesc proprietăți esențiale ale polinoamelor cu coeficienți complecși. Teorema fundamentală a algebrei afirmă că orice polinom de grad n ≥ 1 cu coeficienți complecși are cel puțin o rădăcină complexă. Aceasta implică că un polinom de grad n are exact n rădăcini complexe, numărate cu multiplicitatea lor.
Teorema fundamentală a algebrei
- Enunț Pentru orice polinom P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0, cu a_n ≠ 0 și coeficienți complecși, există cel puțin un număr complex z astfel încât P(z) = 0.
- Consecință Polinomul se descompune complet în factori liniari: P(x) = a_n(x - z_1)(x - z_2)...(x - z_n), unde z_1, z_2,..., z_n sunt rădăcinile complexe.
- Exemplu numeric Polinomul P(x) = x^2 + 1 are rădăcinile complexe z_1 = i și z_2 = -i, deoarece i^2 + 1 = -1 + 1 = 0.
Teorema lui Bézout
- Enunț Restul împărțirii unui polinom P(x) la binomul (x - a) este egal cu P(a).
- Aplicație Dacă P(a) = 0, atunci (x - a) este factor al polinomului P(x).
- Exemplu numeric Pentru P(x) = x^2 - 3x + 2 și a = 1, P(1) = 1 - 3 + 2 = 0, deci (x - 1) divide P(x).
Folosește teorema lui Bézout pentru a verifica rapid dacă un număr este rădăcină a unui polinom.