Matematică Alte teme
Spatii vectoriale si subspatii
Spațiile vectoriale sunt mulțimi de vectori cu operații de adunare și înmulțire cu scalari care satisfac anumite axiome. Subspațiile sunt submulțimi ale unui spațiu vectorial care sunt închise la aceste operații.
Axiomele unui spațiu vectorial
- Adunarea vectorilor Comutativitate: u + v = v + u. Asociativitate: (u + v) + w = u + (v + w). Element neutru: există vectorul 0 astfel încât u + 0 = u.
- Înmulțirea cu scalari Distributivitate: a(u + v) = a u + a v. Asociativitate: (ab)u = a(b u). Element unitate: 1 * u = u.
- Exemplu: R^n Spațiul vectorial real R^2 are vectori (x,y) cu operații componente: (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2, y1+y2).
Condiții pentru un subspațiu
- 1 Verificați închiderea la adunare. Pentru orice u, v în subspațiu, u + v trebuie să fie în subspațiu.
- 2 Verificați închiderea la înmulțire cu scalari. Pentru orice scalar a și vector u în subspațiu, a u trebuie să fie în subspațiu.
- 3 Exemplu: subspațiul lui R^3. Mulțimea {(x,y,0) | x,y ∈ R} este subspațiu: suma (x1,y1,0)+(x2,y2,0)=(x1+x2, y1+y2,0) și a(x,y,0)=(ax,ay,0) sunt în mulțime.
Pentru a demonstra că o mulțime este subspațiu, testați cele două condiții de închidere.