Matematică Alte teme
Spatii vectoriale baza si dimensiune
Un spațiu vectorial este o mulțime V cu operații de adunare și înmulțire cu scalari care satisfac anumite axiome. O bază a lui V este o mulțime de vectori liniar independenți care generează întreg spațiul. Dimensiunea este numărul de vectori din orice bază.
Definiții cheie
- Spațiu vectorial Exemplu: ℝ^n, mulțimea matricelor 2x2, polinoamele de grad ≤ n. Axiomele includ comutativitatea adunării și distributivitatea.
- Bază În ℝ^2, baza canonică este {(1,0), (0,1)}. Vectorii sunt liniar independenți și orice (x,y) ∈ ℝ^2 se scrie ca x(1,0) + y(0,1).
- Dimensiune Dimensiunea lui ℝ^n este n. Dacă un spațiu are o bază finită, dimensiunea este numărul de vectori din bază; altfel, este infinit-dimensional.
Exemple și proprietăți
- Exemplu: spațiul polinoamelor Spațiul polinoamelor de grad ≤ 2 are baza {1, x, x^2} și dimensiunea 3. Orice polinom a x^2 + b x + c se exprimă unic în această bază.
- Calculul dimensiunii Pentru a găsi dimensiunea, determină o bază. În ℝ^3, subspațiul definit de x + y + z = 0 are dimensiunea 2 (bază: {(1,-1,0), (1,0,-1)}).
- Teorema dimensiunii Dacă V are dimensiune n, atunci orice mulțime de n vectori liniar independenți formează o bază, și orice mulțime cu mai mult de n vectori este dependentă.
Pentru a verifica dacă o mulțime este bază, arată că vectorii sunt liniar independenți și generează spațiul.