Matematică Alte teme
Siruri recurente exemple
Șirurile recurente sunt definite prin termeni inițiali și o relație de recurență care exprimă fiecare termen în funcție de precedenții. Acestea apar frecvent în matematică pentru modelarea proceselor iterative.
Definiție și tipuri
- Relație de recurență O relație de recurență de ordinul k exprimă termenul a_n în funcție de a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k}, pentru n ≥ k.
- Exemplu simplu Șirul Fibonacci: a₀ = 0, a₁ = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2} pentru n ≥ 2. Primii termeni: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8.
- Șir aritmetic recurent Șirul a_n = a_{n-1} + r, cu a₁ dat, are termenul general a_n = a₁ + (n-1)·r.
Exemple numerice
- Șir geometric recurent Șirul a_n = q·a_{n-1}, cu a₁ = 2 și q = 3, dă termenii: 2, 6, 18, 54, ... cu formula a_n = 2·3^{n-1}.
- Șir cu condiții inițiale Șirul a₁ = 1, a₂ = 2, a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2} pentru n ≥ 3. Calculează a₃ = 2·2 - 1 = 3, a₄ = 2·3 - 2 = 4.
- Aplicație practică Modelarea creșterii unei populații: P₀ = 100, P_n = 1.05·P_{n-1}, reprezintă o creștere de 5% pe an.
Rezolvă recurențele pas cu pas pentru a găsi termenul general și aplică-le în probleme reale.