Matematică Alte teme
Reguli de derivare aplicatii
Regulile de derivare sunt formule care permit calcularea derivatei unei funcții pe baza tipului ei, iar aplicațiile includ determinarea vitezelor, a punctelor de extrem și a tangențelor. Derivata unei funcții f(x) într-un punct măsoară rata de schimbare a funcției în acel punct.
Reguli de bază pentru derivare
- Derivata unei constante Dacă c este constantă, atunci d/dx [c] = 0.
- Derivata puterii Dacă f(x) = x^n, atunci f'(x) = n x^(n-1); exemplu: pentru f(x) = x³, f'(x) = 3x².
- Derivata sumei (f + g)' = f' + g'; exemplu: d/dx [x² + 3x] = 2x + 3.
- Derivata produsului (fg)' = f'g + fg'; exemplu: pentru f(x)=x, g(x)=sin x, (x sin x)' = 1·sin x + x·cos x.
- Derivata câtului (f/g)' = (f'g - fg')/g²; exemplu: pentru f(x)=x, g(x)=x²+1, derivata este (1·(x²+1) - x·2x)/(x²+1)².
Aplicații practice
- Viteza instantanee Dacă s(t) este poziția, viteza este v(t) = s'(t); exemplu: pentru s(t)=5t², v(t)=10t.
- Puncte de extrem Rezolvă f'(x)=0 pentru a găsi puncte critice; exemplu: f(x)=x²-4x are f'(x)=2x-4, deci x=2 este minim.
- Ecuația tangentei Tangenta la graficul lui f în x=a are ecuația y = f(a) + f'(a)(x-a); exemplu: pentru f(x)=x² în x=1, tangenta este y=1+2(x-1).
Exersează regulile pe funcții simple înainte de a trece la cele compuse.