Matematică Alte teme
Rangul unei matrici cum se determina prin transformari
Rangul unei matrice este numărul maxim de linii (sau coloane) liniar independente și se determină prin transformări elementare care aduc matricea la forma eșalon. Aceste transformări păstrează rangul și includ schimbarea a două linii, înmulțirea unei linii cu un scalar nenul, și adunarea unei linii cu o altă linie înmulțită cu un scalar.
Transformări elementare permise
- Schimbarea a două linii (sau coloane) Exemplu: Dacă matricea A are linii L1 și L2, schimbă L1 cu L2. Rangul rămâne același.
- Înmulțirea unei linii cu un scalar nenul Exemplu: Înmulțește L1 cu 2. Aceasta nu afectează dependența liniară.
- Adunarea unei linii cu o alta înmulțită cu scalar Exemplu: Înlocuiește L2 cu L2 + 3*L1. Rangul se conservă.
Pași pentru determinarea rangului
- 1 Pasul 1: Adu matricea la forma eșalon Folosește transformări elementare pentru a obține zerouri sub pivoti (primul element nenul din fiecare linie).
- 2 Pasul 2: Numără liniile nenule Rangul este egal cu numărul de linii care nu sunt complet zero în forma eșalon.
- 3 Exemplu: A = [[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]] 1. Scădem 2*L1 din L2: L2 devine [0,0,0]. 2. Scădem 3*L1 din L3: L3 devine [0,0,0]. 3. Forma eșalon are o singură linie nenulă, deci rangul este 1.
Verifică întotdeauna că transformările sunt elementare pentru a nu altera rangul matricei originale.