Matematică Alte teme
Radacinile de ordin n ale unitatii
Rădăcinile de ordin n ale unității sunt numerele complexe z care satisfac ecuația zⁿ = 1. Ele sunt n numere distincte, date de formula zₖ = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n), pentru k = 0, 1, ..., n-1.
Proprietăți cheie
- Forma trigonometrică zₖ = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n), unde i este unitatea imaginară.
- Reprezentare geometrică Rădăcinile se află pe cercul unitate în planul complex, echidistante, formând un poligon regulat cu n laturi.
- Suma rădăcinilor Suma tuturor rădăcinilor de ordin n ale unității este 0, pentru n > 1.
Exemplu pentru n=3
- 1 Ecuația și formula Rezolv z³ = 1. Folosesc formula: zₖ = cos(2kπ/3) + i sin(2kπ/3), k=0,1,2.
- 2 Calculul valorilor Pentru k=0: z₀ = cos(0) + i sin(0) = 1. Pentru k=1: z₁ = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + i√3/2. Pentru k=2: z₂ = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = -1/2 - i√3/2.
- 3 Interpretare Cele trei rădăcini sunt 1, -1/2 + i√3/2, -1/2 - i√3/2, formând un triunghi echilateral pe cerc.
Pentru a găsi rapid rădăcinile, memorează că pentru n=2 sunt ±1, iar pentru n=4 sunt ±1, ±i.