Matematică Alte teme
Produsul scalar al doi vectori definitie si calcul
Produsul scalar al doi vectori u și v, notați u·v, este un număr real definit ca u·v=|u|·|v|·cos(θ), unde θ este unghiul dintre vectori. În coordonate carteziene, pentru u=(x₁,y₁) și v=(x₂,y₂), u·v=x₁·x₂+y₁·y₂.
Definiție și calcul
- Definiție geometrică u·v=|u|·|v|·cos(θ). Dacă vectorii sunt perpendiculari (θ=90°), cos(90°)=0, deci u·v=0.
- Calcul în coordonate Pentru u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂), u·v=x₁·x₂+y₁·y₂. Exemplu: u=(2,3), v=(4,1), u·v=2·4+3·1=11.
- Proprietăți Comutativitate: u·v=v·u. Distributivitate: u·(v+w)=u·v+u·w. u·u=|u|².
Aplicații și exemple
- 1 Verificarea perpendicularității Vectorii u=(3,4) și v=(-4,3). u·v=3·(-4)+4·3=-12+12=0, deci sunt perpendiculari.
- 2 Calculul unghiului Pentru u=(1,0), v=(0,1), u·v=0, |u|=1, |v|=1, cos(θ)=0/(1·1)=0, deci θ=90°.
- 3 Proiecția unui vector Proiecția lui u pe v este (u·v/|v|²)·v. Exemplu: u=(2,3), v=(1,0), proiecția=(2·1+3·0)/(1²)·(1,0)=2·(1,0)=(2,0).
Folosește formula în coordonate pentru calcule rapide și definiția geometrică pentru interpretări.