Matematică Alte teme
Produs scalar al doi vectori formula
Produsul scalar al doi vectori este o operație care asociază doi vectori unui scalar, calculat ca suma produselor coordonatelor corespunzătoare. Formula generală pentru vectorii u = (x1, y1) și v = (x2, y2) în plan este u · v = x1x2 + y1y2, iar în spațiu pentru u = (x1, y1, z1) și v = (x2, y2, z2) este u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2. Acest produs măsoară proiecția unui vector pe altul și unghiul dintre ei.
Proprietăți ale produsului scalar
- Comutativitate u · v = v · u pentru orice vectori u și v.
- Distributivitate u · (v + w) = u · v + u · w.
- Legătura cu lungimea u · u = |u|², deci |u| = √(u · u).
- Unghiul dintre vectori Dacă θ este unghiul dintre u și v, atunci u · v = |u||v|cos θ, deci cos θ = (u · v) / (|u||v|).
Exemple de calcul
- 1 Pasul 1: Identifică vectorii Fie u = (2, 3) și v = (4, -1).
- 2 Pasul 2: Aplică formula u · v = (2)(4) + (3)(-1) = 8 - 3 = 5.
- 3 Pasul 3: Calculează lungimile |u| = √(2² + 3²) = √13 ≈ 3.61, |v| = √(4² + (-1)²) = √17 ≈ 4.12.
- 4 Pasul 4: Determină unghiul cos θ = 5 / (3.61 * 4.12) ≈ 5 / 14.87 ≈ 0.336, deci θ ≈ arccos(0.336) ≈ 70.3°.
Folosește produsul scalar pentru a verifica ortogonalitatea: dacă u · v = 0, vectorii sunt perpendiculari.