Matematică Alte teme
Polinoame ireductibile peste R
Un polinom ireductibil peste R este un polinom care nu poate fi descompus într-un produs de polinoame de grad mai mic cu coeficienți reali. Peste R, polinoamele ireductibile sunt cele de grad 1 și cele de grad 2 cu discriminant negativ.
Tipuri de polinoame ireductibile peste R
- Polinoame de gradul 1 Orice polinom de forma ax+b cu a≠0 este ireductibil peste R, deoarece nu poate fi factorizat în factori de grad mai mic cu coeficienți reali.
- Polinoame de gradul 2 cu Δ<0 Polinoame de forma ax^2+bx+c cu discriminantul Δ=b^2-4ac<0 sunt ireductibile peste R. Exemplu: x^2+1 are Δ=-4<0.
- Polinoame de grad mai mare Polinoamele de grad ≥3 pot fi reductibile sau ireductibile; se testează prin criterii ca rădăcini raționale sau descompunere.
Exemple și verificări
- Exemplu ireductibil P(x)=x^2+4x+5, Δ=16-20=-4<0, deci este ireductibil peste R.
- Exemplu reductibil P(x)=x^2-3x+2, Δ=9-8=1>0, are rădăcini reale 1 și 2, deci se descompune ca (x-1)(x-2).
- Aplicație în factorizare Orice polinom cu coeficienți reali se descompune în factori liniari și pătratici ireductibili, conform teoremei fundamentale a algebrei.
Pentru a testa ireductibilitatea, calculați discriminantul la polinoamele de grad 2.