Matematică Alte teme
Patrulatere inscriptibile circumscriptibile
Un patrulater este inscriptibil dacă toate vârfurile sale se află pe un cerc și circumscriptibil dacă toate laturile sale sunt tangente la un cerc. Aceste proprietăți sunt independente, dar există patrulatere care le au pe ambele, cum ar fi pătratul. Condiția de inscriptibilitate este suma a două unghiuri opuse egală cu 180°, iar pentru circumscriptibilitate, suma lungimilor laturilor opuse este egală.
Proprietăți ale patrulaterelor inscriptibile
- Condiția unghiurilor Un patrulater convex este inscriptibil dacă și numai dacă suma măsurilor a două unghiuri opuse este 180°. Exemplu: într-un patrulater cu unghiurile A=70°, B=110°, C=70°, D=110°, A+C=140° (nu e 180°), deci nu e inscriptibil.
- Teorema lui Ptolemeu Pentru un patrulater inscriptibil, produsul diagonalelor este egal cu suma produselor laturilor opuse: AC·BD = AB·CD + AD·BC.
- Exemple comune Dreptunghiul, pătratul și trapezul isoscel sunt inscriptibile. Un paralelogram care nu e dreptunghi nu e inscriptibil.
Proprietăți ale patrulaterelor circumscriptibile
- Condiția laturilor Un patrulater este circumscriptibil dacă și numai dacă suma lungimilor laturilor opuse este egală: AB+CD = BC+AD. Exemplu: pentru laturile 5, 7, 6, 4, avem 5+6=11 și 7+4=11, deci e circumscriptibil.
- Raza cercului înscris Dacă patrulaterul e circumscriptibil, există un cerc înscris cu raza r. Aria se calculează ca A = r·s, unde s este semiperimetrul.
- Exemple comune Rombul, pătratul și deltoidul sunt circumscriptibile. Un dreptunghi care nu e pătrat nu e circumscriptibil.
Verifică întâi condițiile cu datele din problemă pentru a stabili tipul patrulaterului.