Matematică Alte teme
Metoda de integrare prin parti exemple detaliate
Metoda de integrare prin părți se aplică integralei unui produs de funcții și folosește formula ∫u dv = uv - ∫v du. Ea transformă o integrală dificilă într-una mai simplă, alegând strategic funcțiile u și dv. Această metodă este utilă pentru integrale ce conțin funcții precum ln(x), arctg(x) sau produse de funcții polinomiale cu exponențiale.
Formula și alegerea funcțiilor
- Formula de bază ∫u(x) * v'(x) dx = u(x) * v(x) - ∫u'(x) * v(x) dx, unde u și v sunt funcții derivabile.
- Regula LIATE pentru alegerea lui u Alege u în ordinea: Logaritmice (ex: ln x), Inverse trigonometrice (ex: arcsin x), Algebrice (ex: x^2), Trigonometrice (ex: sin x), Exponențiale (ex: e^x).
- Exemplu: ∫x * e^x dx Alegem u = x (algebrică) și dv = e^x dx. Atunci du = dx, v = e^x. Aplicând formula: ∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C.
Exemple detaliate cu pași
- 1 Exemplul 1: ∫ln x dx 1. Scriem ∫ln x * 1 dx. Alegem u = ln x, dv = dx. 2. Calculăm du = (1/x) dx, v = x. 3. Aplicăm formula: ∫ln x dx = x ln x - ∫x * (1/x) dx = x ln x - ∫1 dx. 4. Rezultă x ln x - x + C.
- 2 Exemplul 2: ∫x^2 sin x dx 1. Alegem u = x^2, dv = sin x dx. 2. du = 2x dx, v = -cos x. 3. ∫x^2 sin x dx = -x^2 cos x + ∫2x cos x dx. 4. Aplicăm din nou metoda pentru ∫2x cos x dx: u = 2x, dv = cos x dx. 5. du = 2 dx, v = sin x. 6. ∫2x cos x dx = 2x sin x - ∫2 sin x dx = 2x sin x + 2 cos x. 7. Final: -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C.
Verifică rezultatul prin derivare pentru a te asigura că ai aplicat corect metoda.