Matematică Alte teme
Limite remarcabile exercitii rezolvate
Limitele remarcabile sunt formule fundamentale în calculul limitelor de funcții. Ele simplifică rezolvarea exercițiilor prin reducerea la forme cunoscute. De exemplu, limita (sin x)/x când x tinde la 0 este egală cu 1.
Limite remarcabile de bază
- lim (sin x)/x = 1 Când x → 0, (sin x)/x → 1. Aplicare: lim (sin 3x)/x = 3 * lim (sin 3x)/(3x) = 3 * 1 = 3.
- lim (1 + 1/x)^x = e Când x → ∞, (1 + 1/x)^x → e. Exemplu: lim (1 + 2/n)^n = e^2 pentru n → ∞.
- lim (a^x - 1)/x = ln a Când x → 0, (a^x - 1)/x → ln a. Pentru a = e, lim (e^x - 1)/x = 1.
Exercițiu rezolvat pas cu pas
- 1 Calculați lim (tan x)/x când x → 0. Scrieți tan x = sin x / cos x. Limita devine lim (sin x)/(x cos x).
- 2 Aplicați limita remarcabilă. lim (sin x)/x = 1 și cos 0 = 1. Deci limita = 1 * 1 = 1.
- 3 Verificați rezultatul. Folosiți regula lui l'Hôpital: derivată sin x este cos x, derivată x este 1, lim cos x/1 = 1.
Exersați transformarea expresiilor pentru a aplica direct limitele remarcabile.