Matematică Alte teme
Limite de siruri exercitii rezolvate clasa 11
Limitele de șiruri se calculează folosind metode precum împărțirea cu termenul dominant, factorizarea sau criteriul lui Stolz-Cesàro. În exerciții, scopul este să găsim valoarea către care tinde șirul când n → ∞.
Exercițiu rezolvat: Șir rațional
- 1 Enunț Să se calculeze limita șirului a_n = (3n² + 2n - 1) / (n² - 4) când n → ∞.
- 2 Metoda împărțirii Împărțim numărătorul și numitorul la n², termenul dominant: a_n = (3 + 2/n - 1/n²) / (1 - 4/n²).
- 3 Calculul limitei Când n → ∞, 2/n → 0, 1/n² → 0, 4/n² → 0, deci lim a_n = (3 + 0 - 0) / (1 - 0) = 3.
Exercițiu rezolvat: Șir cu radical
- 1 Enunț Să se calculeze limita șirului b_n = √(n² + n) - n când n → ∞.
- 2 Raționalizarea Amplificăm cu conjugata: b_n = [√(n² + n) - n] · [√(n² + n) + n] / [√(n² + n) + n] = (n² + n - n²) / [√(n² + n) + n].
- 3 Simplificarea b_n = n / [√(n² + n) + n] = n / [n√(1 + 1/n) + n] = 1 / [√(1 + 1/n) + 1].
- 4 Calculul final Când n → ∞, 1/n → 0, deci lim b_n = 1 / [√1 + 1] = 1 / 2.
Pentru șiruri raționale, împarte la puterea cea mai mare; pentru cele cu radicale, folosește raționalizarea.