Matematică Alte teme
Inel comutativ definitie
Un inel comutativ este o structură algebrică formată dintr-o mulțime nevidă R și două operații binare, adunarea și înmulțirea, care satisfac anumite axiome. Comutativitatea se referă la faptul că înmulțirea este comutativă. Exemple includ mulțimea numerelor întregi Z și polinoamele cu coeficienți reali.
Definiția axiomatică
- Grup abelian la adunare (R, +) este un grup abelian: are element neutru 0, fiecare element a are invers -a, și adunarea este comutativă.
- Înmulțirea asociativă Înmulțirea este asociativă: pentru orice a, b, c din R, a·(b·c) = (a·b)·c.
- Distributivitate Înmulțirea este distributivă față de adunare: a·(b+c) = a·b + a·c și (a+b)·c = a·c + b·c.
- Comutativitatea înmulțirii Înmulțirea este comutativă: pentru orice a, b din R, a·b = b·a. Exemplu: în Z, 2·3 = 3·2 = 6.
Exemple practice
- 1 Mulțimea numerelor întregi Z Z cu adunarea și înmulțirea obișnuite este inel comutativ. Element neutru la adunare este 0, la înmulțire este 1.
- 2 Mulțimea numerelor raționale Q Q este inel comutativ, deoarece adunarea și înmulțirea sunt comutative și distributive.
- 3 Inelul polinoamelor R[x] Mulțimea polinoamelor cu coeficienți reali, cu adunarea și înmulțirea polinoamelor, este inel comutativ.
Verifică întotdeauna comutativitatea înmulțirii când studiezi un inel.