Matematică Alte teme
Inegalitatea mediilor demonstratie
Inegalitatea mediilor afirmă că pentru numere reale pozitive, media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică. Demonstrația se bazează pe inegalitatea lui Bernoulli sau pe metode algebrice simple. Voi prezenta o demonstrație accesibilă pentru două numere.
Enunțul inegalității pentru două numere
- Formulă Pentru a, b > 0: (a + b)/2 ≥ √(ab), cu egalitate doar dacă a = b.
- Semnificație Media aritmetică a două numere pozitive este întotdeauna cel puțin egală cu media lor geometrică.
Demonstrație pas cu pas
- 1 Pasul 1 Presupunem a, b > 0. Scriem inegalitatea: (a + b)/2 ≥ √(ab).
- 2 Pasul 2 Înmulțim ambii membri cu 2: a + b ≥ 2√(ab).
- 3 Pasul 3 Rearanjăm: a - 2√(ab) + b ≥ 0, adică (√a - √b)² ≥ 0.
- 4 Pasul 4 Pătratul unui număr real este întotdeauna ≥ 0, deci inegalitatea este adevărată. Egalitatea apare când √a = √b, adică a = b.
Verifică inegalitatea pentru a = 4, b = 9: (4+9)/2 = 6.5, √(4×9) = 6, deci 6.5 ≥ 6.