Matematică Alte teme
Inductia matematica demonstratie
Inductia matematica este o metoda de demonstratie care verifica o propozitie P(n) pentru toate numerele naturale n. Ea consta din doua etape: cazul de baza si pasul inductiv.
Etapele demonstratiei
- 1 Cazul de baza Demonstrati ca P(1) este adevarata (sau P(k) pentru cel mai mic n relevant).
- 2 Ipoteza inductiva Presupuneti ca P(n) este adevarata pentru un n arbitrar.
- 3 Pasul inductiv Demonstrati ca din P(n) rezulta P(n+1).
Exemplu concret
- 1 Propozitia Demonstrati ca 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 pentru n ≥ 1.
- 2 Cazul de baza Pentru n=1: 1 = 1*2/2 = 1, adevarat.
- 3 Pasul inductiv Presupunem adevarat pentru n, adica suma este n(n+1)/2. Pentru n+1, suma devine n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2, ceea ce demonstreaza P(n+1).
Asigurati-va ca pasul inductiv foloseste explicit ipoteza, altfel demonstratia este incompleta.