Matematică Alte teme
Factorizare polinoame in C[X]
Factorizarea polinoamelor în C[X] se bazează pe teorema fundamentală a algebrei: orice polinom neconstant cu coeficienți complecși are cel puțin o rădăcină în C. În C[X], polinoamele se descompun complet în factori liniari. De exemplu, X²+1 = (X-i)(X+i) în C[X].
Teoreme cheie
- Teorema fundamentală Orice polinom f ∈ C[X] de grad n ≥ 1 are exact n rădăcini în C (numărate cu multiplicitate).
- Descompunerea completă f(X) = a(X-α₁)(X-α₂)...(X-α_n), unde a este coeficientul dominant, α_i sunt rădăcinile.
- Polinoame ireductibile În C[X], singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul 1.
Pași pentru factorizare
- 1 Găsește rădăcinile Rezolvă ecuația f(x)=0 în C. Pentru X²+4, rădăcinile sunt ±2i.
- 2 Scrie factorii liniari Pentru fiecare rădăcină α, scrie factorul (X-α). Pentru X²+4: (X-2i)(X+2i).
- 3 Include multiplicitatea Dacă o rădăcină α are multiplicitatea m, factorul (X-α) apare de m ori.
- 4 Verifică Înmulțește factorii să vezi dacă obții polinomul inițial.
Pentru polinoame simple, caută rădăcini evidente; pentru cele complexe, folosește formula rădăcinilor pentru ecuații de gradul 2.