Matematică Alte teme
Cel mai mare divizor comun exercitii rezolvate
Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al două sau mai multor numere este cel mai mare număr natural care divide toate numerele date. Pentru a-l găsi, descompunem numerele în factori primi și luăm factorii comuni la puterea cea mai mică. De exemplu, c.m.m.d.c.(12, 18) = 6, deoarece 12 = 2² × 3 și 18 = 2 × 3², iar factorii comuni sunt 2 și 3 la puterea minimă: 2¹ × 3¹ = 6.
Exerciții rezolvate cu descompunerea în factori primi
- 1 Exercițiul 1: c.m.m.d.c.(24, 36) Descompunem: 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3². Factorii comuni sunt 2 și 3. Luăm puterile minime: 2² și 3¹. c.m.m.d.c. = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
- 2 Exercițiul 2: c.m.m.d.c.(45, 60, 75) Descompunem: 45 = 3² × 5, 60 = 2² × 3 × 5, 75 = 3 × 5². Factorii comuni sunt 3 și 5. Puteri minime: 3¹ și 5¹. c.m.m.d.c. = 3 × 5 = 15.
- 3 Exercițiul 3: c.m.m.d.c.(16, 48) Descompunem: 16 = 2⁴, 48 = 2⁴ × 3. Singurul factor comun este 2 la puterea minimă 2⁴. c.m.m.d.c. = 16.
Exerciții cu metoda scăderilor repetate sau algoritmul lui Euclid
- Metoda scăderilor: c.m.m.d.c.(28, 42) Scădem numărul mai mic din cel mai mare până obținem numere egale: 42 - 28 = 14, 28 - 14 = 14. c.m.m.d.c. = 14.
- Algoritmul lui Euclid: c.m.m.d.c.(56, 98) Împărțim 98 la 56, rest 42. Apoi 56 la 42, rest 14. Apoi 42 la 14, rest 0. Ultimul rest nenul este 14, deci c.m.m.d.c. = 14.
- Aplicație: simplificarea fracției 24/36 c.m.m.d.c.(24, 36) = 12. Împărțim numărătorul și numitorul la 12: 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3. Fracția simplificată este 2/3.
Verifică-ți rezultatele împărțind numerele la c.m.m.d.c. - toate împărțirile trebuie să dea rest zero.