Matematică Alte teme
Baze si dimensiuni spatii vectoriale
O bază a unui spațiu vectorial este un set de vectori liniar independenți care generează întreg spațiul. Dimensiunea spațiului este numărul de vectori din bază. De exemplu, în ℝ³, baza canonică are dimensiunea 3, formată din vectorii (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
Proprietăți ale bazelor
- Liniar independență Vectorii dintr-o bază sunt liniar independenți: combinația lor liniară este zero doar dacă toți coeficienții sunt zero.
- Sistem de generatori Orice vector din spațiu se poate scrie ca o combinație liniară a vectorilor din bază.
- Dimensiune fixă Toate bazele aceluiași spațiu vectorial au același număr de vectori, care definește dimensiunea.
Exemple de baze și dimensiuni
- Spațiul ℝ² Baza canonică: {(1,0), (0,1)}. Dimensiune: 2.
- Spațiul polinoamelor de grad ≤ 2 Baza: {1, x, x²}. Dimensiune: 3.
- Spațiul matricelor 2x2 Baza: matricele cu un 1 și restul 0. Dimensiune: 4.
Pentru a verifica dacă un set este bază, asigură-te că vectorii sunt liniar independenți și generează spațiul.