Matematică Alte teme
Baza si dimensiunea unui spatiu vectorial
O bază a unui spațiu vectorial este o mulțime de vectori liniar independenți care generează întreg spațiul. Dimensiunea este numărul de vectori din bază, notat dim(V).
Caracteristicile unei baze
- Independență liniară Vectorii bazei sunt liniar independenți: combinația lor liniară nulă are toți coeficienții zero.
- Sistem de generatori Orice vector din spațiu se poate scrie ca o combinație liniară a vectorilor bazei.
- Dimensiune finită Dacă spațiul are o bază cu n vectori, atunci dim(V) = n; toate bazele au același număr de vectori.
Exemplu în R³
- 1 Baza canonică În R³, baza canonică este B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
- 2 Verificare independență Combinația liniară a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (0,0,0) implică a=b=c=0.
- 3 Generare Orice vector (x,y,z) din R³ se scrie ca x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1).
- 4 Dimensiune dim(R³) = 3, deoarece baza are 3 vectori.
Pentru a găsi baza unui spațiu, caută vectori liniar independenți care îl generează; dimensiunea este invariantă.