Matematică Aritmetică
Corp de fractii al unui inel
Corpul de fracții al unui inel este o construcție algebrică care transformă un inel întreg într-un corp prin adăugarea elementelor inverse pentru înmulțire. Dacă avem un inel comutativ A fără divizori ai lui zero, corpul de fracții Frac(A) este format din fracții a/b, cu a,b∈A și b≠0. Exemplu: inelul numerelor întregi ℤ are corpul de fracții ℚ (numerele raționale).
Definiție formală
- Elemente Fie A un inel comutativ integru. Corpul de fracții Frac(A) este mulțimea claselor de echivalență ale perechilor (a,b) cu a,b∈A, b≠0, unde (a,b)~(c,d) dacă ad=bc.
- Operații Adunarea: (a,b)+(c,d)=(ad+bc, bd); înmulțirea: (a,b)·(c,d)=(ac, bd).
- Proprietate universală Orice morfism injectiv de inele de la A la un corp K se factorizează prin Frac(A).
Exemple practice
- ℤ → ℚ Inelul numerelor întregi are corpul de fracții ℚ: fracția 3/4 corespunde perechii (3,4).
- Inele de polinoame Frac(ℝ[x]) = ℝ(x), corpul funcțiilor raționale cu coeficienți reali.
- Aplicație Permite rezolvarea ecuațiilor în inele prin trecerea la corp, unde împărțirea este posibilă.
Pentru exerciții, identifică întâi dacă inelul este integru, apoi construiește fracțiile cu numitor nenul.