Matematică Analiză matematică
Teorema lui Rolle si teorema lui Lagrange
Teorema lui Rolle și Teorema lui Lagrange sunt două teoreme fundamentale din analiza matematică care stabilesc condiții pentru existența unor puncte cu anumite proprietăți pe graficul unei funcții. Teorema lui Rolle afirmă că dacă o funcție continuă pe un interval închis și derivabilă pe intervalul deschis are valori egale la capete, atunci există cel puțin un punct în interiorul intervalului unde derivata este zero. Teorema lui Lagrange generalizează aceasta, arătând că există un punct unde derivata este egală cu panta medie a funcției pe interval.
Teorema lui Rolle
- Condiții Funcția f este continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) și f(a) = f(b).
- Concluzie Există cel puțin un punct c ∈ (a,b) astfel încât f'(c) = 0.
- Exemplu numeric Pentru f(x) = x² - 4x + 3 pe [1,3], f(1)=0 și f(3)=0, derivata f'(x)=2x-4 se anulează în x=2 ∈ (1,3).
Teorema lui Lagrange
- Condiții Funcția f este continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b).
- Concluzie Există cel puțin un punct c ∈ (a,b) astfel încât f'(c) = [f(b) - f(a)]/(b-a).
- Exemplu numeric Pentru f(x) = x³ pe [0,2], panta medie este (8-0)/(2-0)=4, derivata f'(x)=3x² este 4 în x=√(4/3) ≈ 1.155 ∈ (0,2).
Folosește teoremele pentru a demonstra existența rădăcinilor sau a punctelor critice în probleme de analiză.