Matematică Analiză matematică
Teorema lui Lagrange exercitii clasa 11
Teorema lui Lagrange sau a creșterilor finite spune că dacă f este continuă pe [a,b] și derivabilă pe (a,b), atunci există c în (a,b) astfel încât f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a). În clasa a XI-a, exercițiile implică calculul lui c sau demonstrații de inegalități.
Pași pentru exerciții tipice
- 1 Pasul 1 Verifică condițiile: continuitate pe [a,b] și derivabilitate pe (a,b). Exemplu: f(x)=x^2 pe [1,3] îndeplinește condițiile.
- 2 Pasul 2 Calculează [f(b)-f(a)]/(b-a). Exemplu: pentru f(x)=x^2, a=1, b=3, [9-1]/(3-1) = 4.
- 3 Pasul 3 Rezolvă f'(x) = valoarea calculată pentru a găsi c. Exemplu: f'(x)=2x, 2x=4 dă x=2, deci c=2 ∈ (1,3).
Exemple numerice
- Exemplul 1 f(x)=sin x pe [0, π/2]. [sin(π/2)-sin(0)]/(π/2-0) = 1/(π/2) = 2/π. f'(x)=cos x, cos c = 2/π, deci c = arccos(2/π).
- Exemplul 2 f(x)=x^3 - x pe [-1,1]. [f(1)-f(-1)]/(1-(-1)) = [0-0]/2 = 0. f'(x)=3x^2-1, 3c^2-1=0 dă c=±1/√3, ambele în (-1,1).
- Exemplul 3 Demonstrează că pentru orice x,y reale, |sin x - sin y| ≤ |x-y|. Aplică teorema lui Lagrange pe funcția sin t, cu derivata cos t mărginită de 1.
Folosește teorema pentru a estima variații ale funcției sau pentru a demonstra proprietăți globale.