Matematică Analiză matematică
Primitive si integrale definite calcul
Primitivele și integralele definite sunt concepte cheie în calculul integral. O primitivă a unei funcții f este o funcție F astfel încât F'(x)=f(x) pentru orice x într-un interval. Integrala definită ∫[a,b] f(x) dx calculează diferența F(b)-F(a), unde F este o primitivă a lui f, conform teoremei fundamentală a calculului integral.
Calculul primitivelor
- Primitive de bază Cunoaște formulele: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C pentru n≠-1, ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ sin x dx = -cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C.
- Metode de integrare Folosești substituția: de exemplu, pentru ∫ 2x e^(x^2) dx, notezi u=x^2, du=2x dx, devine ∫ e^u du = e^u + C = e^(x^2) + C. Integrarea prin părți: ∫ u dv = uv - ∫ v du.
- Exemplu numeric Găsește o primitivă pentru f(x)=3x^2+4x. ∫ (3x^2+4x) dx = x^3+2x^2 + C. Verifică derivând: d/dx (x^3+2x^2) = 3x^2+4x.
Calculul integralelor definite
- 1 Pasul 1: Găsește o primitivă Pentru ∫[1,3] (2x+1) dx, o primitivă este F(x)=x^2+x, deoarece F'(x)=2x+1.
- 2 Pasul 2: Aplică limitele de integrare Calculează F(3)-F(1) = (3^2+3) - (1^2+1) = (9+3) - (1+1) = 12 - 2 = 10.
- 3 Pasul 3: Verifică cu interpretare geometrică Integrala reprezintă aria unui trapez cu bazele f(1)=3 și f(3)=7 și înălțimea 2, arie = (3+7)/2 * 2 = 10, confirmând calculul.
Exemplu combinat
- 1 Pasul 1: Definește integrala Calculează ∫[0,π] sin x dx. O primitivă a lui sin x este -cos x.
- 2 Pasul 2: Evaluează ∫[0,π] sin x dx = [-cos x] de la 0 la π = (-cos π) - (-cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2.
- 3 Pasul 3: Interpretare Rezultatul 2 reprezintă aria sub curba sin x pe [0,π], unde funcția este pozitivă.
Exersează găsirea primitivelor pentru funcții simple înainte de a trece la integralele definite, pentru a consolida bazele.