Matematică Analiză matematică
Monotonie functie definitie si exemple
Monotonia unei funcții descrie cum aceasta crește sau scade pe un interval. O funcție este monoton crescătoare dacă valorile sale nu scad când argumentul crește și monoton descrescătoare dacă nu cresc. De exemplu, f(x)=2x+1 este crescătoare pe ℝ, iar g(x)=-x² este descrescătoare pe [0,∞).
Definiții precise
- Crescătoare f este crescătoare pe I dacă pentru orice x₁<x₂ din I, f(x₁)≤f(x₂). Dacă inegalitatea este strictă (<), funcția este strict crescătoare.
- Descrescătoare f este descrescătoare pe I dacă pentru orice x₁<x₂, f(x₁)≥f(x₂). Pentru strict descrescătoare, folosim >.
- Monotonie constantă Dacă f(x₁)=f(x₂) pentru toate x₁,x₂, funcția este constantă, caz particular de monotonie.
Exemple numerice
- f(x)=x³ Derivata f'(x)=3x²≥0, deci funcția este crescătoare pe ℝ, dar nu strict peste tot (la x=0 derivata este zero).
- h(x)=1/x Pe (0,∞), h este descrescătoare: pentru 0<x₁<x₂, avem 1/x₁>1/x₂.
- k(x)=sin x Nu este monotonă pe ℝ, dar pe [π/2, 3π/2] este descrescătoare, iar pe [-π/2, π/2] este crescătoare.
Verifică monotonia calculând derivata: dacă f'≥0, funcția crește; dacă f'≤0, scade.