Matematică Analiză matematică
Metode de calcul a integralelor (substitutie)
Metoda substituției (schimbării de variabilă) este o tehnică pentru calculul integralelor nedefinite care transformă integrala dată într-una mai simplă. Ea se aplică când funcția de integrat conține o compoziție de funcții. Ideea este să înlocuim o parte din expresie cu o nouă variabilă pentru a simplifica calculul.
Pași pentru aplicarea metodei substituției
- 1 Identifică substituția Alege o parte a integrantului, de exemplu u = g(x), astfel încât derivata sa u' = g'(x) să apară în integrală (sau să poată fi ajustată).
- 2 Calculează diferențialul Derivă substituția: du = g'(x)dx și exprimă dx în funcție de du, de exemplu dx = du/g'(x).
- 3 Înlocuiește în integrală Rescrie integrala inițială în termenii lui u și du, simplificând expresia.
- 4 Integrează în raport cu u Calculează integrala simplificată, obținând o primitivă F(u) + C.
- 5 Revenire la variabila inițială Înlocuiește u cu expresia inițială g(x) pentru a obține rezultatul final: F(g(x)) + C.
Exemplu numeric
- Integrala dată Calculați ∫ 2x·cos(x²) dx.
- Substituția Alegem u = x², deci du = 2x dx. Observăm că 2x dx apare exact în integrală.
- Înlocuirea Integrala devine ∫ cos(u) du.
- Integrarea ∫ cos(u) du = sin(u) + C.
- Rezultat final Revenim la x: sin(x²) + C.
Exersează identificarea substituțiilor potrivite în exerciții pentru a deveni rapid în aplicarea metodei.