Matematică Analiză matematică
Integrale prin parti exercitii rezolvate
Integrarea prin părți se aplică la produse de funcții și folosește formula ∫u dv = uv - ∫v du. Această metodă transformă o integrală dificilă într-una mai simplă. Esența constă în alegerea corectă a funcțiilor u și dv.
Pași de rezolvare
- 1 Identifică u și dv Alege u ca funcție care se simplifică prin derivare și dv ca parte rămasă din integrand. Exemplu: pentru ∫x·e^x dx, alegem u = x și dv = e^x dx.
- 2 Calculează du și v Derivă u pentru a obține du și integrează dv pentru a obține v. În exemplu, du = dx și v = e^x.
- 3 Aplică formula Înlocuiești în formula: ∫x·e^x dx = x·e^x - ∫e^x dx = x·e^x - e^x + C.
- 4 Verifică rezultatul Derivă rezultatul pentru a verifica dacă obții funcția inițială: d/dx (x·e^x - e^x + C) = e^x + x·e^x - e^x = x·e^x.
Exemple rezolvate
- ∫ln(x) dx Alegem u = ln(x), dv = dx. Atunci du = (1/x) dx, v = x. Rezultat: x·ln(x) - ∫x·(1/x) dx = x·ln(x) - x + C.
- ∫x·sin(x) dx Alegem u = x, dv = sin(x) dx. Atunci du = dx, v = -cos(x). Rezultat: -x·cos(x) + ∫cos(x) dx = -x·cos(x) + sin(x) + C.
- ∫x^2·e^x dx Aplică integrarea prin părți de două ori. Prima dată: u = x^2, dv = e^x dx, rezultă x^2·e^x - 2∫x·e^x dx. A doua oară: ∫x·e^x dx = x·e^x - e^x. Final: e^x(x^2 - 2x + 2) + C.
Exersează alegerea lui u și dv pe mai multe tipuri de funcții pentru a deveni rapid.