Matematică Analiză matematică
Integrale improprii de speța 2
Integralele improprii de speța a 2-a au funcții nemărginite pe intervalul de integrare. Acestea apar când funcția are asimptote verticale în puncte din interval. De exemplu, ∫₀¹ 1/√x dx este improprie la x=0.
Cazuri tipice
- Discontinuitate la capătul intervalului ∫ₐ^b f(x) dx, cu f nemărginită în a: = lim_{c→a⁺} ∫_c^b f(x) dx. Exemplu: ∫₀¹ 1/x^{1/2} dx = lim_{c→0⁺} 2√x|_c¹ = 2.
- Discontinuitate în interior Dacă f este nemărginită în c ∈ (a,b), atunci ∫ₐ^b f(x) dx = ∫ₐ^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx. Exemplu: ∫_{-1}^1 1/x² dx diverge la x=0.
- Exemplu cu calcul ∫₀¹ ln(x) dx = lim_{c→0⁺} (x ln x - x)|_c¹ = -1, deoarece lim_{c→0⁺} c ln c = 0.
Metode de analiză
- 1 Pasul 1: Identifică punctele problematice Găsește valorile lui x unde funcția tinde la infinit sau nu este definită.
- 2 Pasul 2: Descompune integrala Împarte intervalul în subintervale care evită punctele problematice, folosind limite.
- 3 Pasul 3: Calculează limitele Aplică tehnici de integrare obișnuite, apoi treci la limită pentru fiecare subinterval.
- 4 Pasul 4: Verifică convergența Dacă toate limitele există și sunt finite, integrala converge; altfel, diverge.
Asigură-te că descompui corect intervalul în jurul punctelor unde funcția este nemărginită.