Matematică Analiză matematică
Integrale improprii de speța 1
Integralele improprii de speța 1 sunt integrale definite cu limite infinite. Acestea se calculează prin înlocuirea limitei infinite cu o variabilă și trecerea la limită. De exemplu, ∫₁^∞ (1/x²) dx se evaluează ca lim_{b→∞} ∫₁^b (1/x²) dx.
Definiție și tipuri
- Limita superioară infinită ∫ₐ^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫ₐ^b f(x) dx. Exemplu: ∫₁^∞ e^{-x} dx = lim_{b→∞} (-e^{-b} + e^{-1}) = e^{-1}.
- Limita inferioară infinită ∫_{-∞}^b f(x) dx = lim_{a→-∞} ∫ₐ^b f(x) dx. Exemplu: ∫_{-∞}^0 e^{x} dx = lim_{a→-∞} (1 - e^{a}) = 1.
- Ambele limite infinite ∫_{-∞}^∞ f(x) dx = ∫_{-∞}^c f(x) dx + ∫_c^∞ f(x) dx, cu c real. Exemplu: ∫_{-∞}^∞ 1/(1+x²) dx = π.
Criterii de convergență
- Comparație cu integrale cunoscute Dacă 0 ≤ f(x) ≤ g(x) și ∫ g(x) dx converge, atunci ∫ f(x) dx converge. Folosește integrale de referință ca ∫₁^∞ 1/x^p dx, care converge pentru p > 1.
- Testul limitei Pentru f(x) ≥ 0, compară lim_{x→∞} f(x)/g(x) cu o funcție g(x) a cărei integrală este cunoscută.
- Exemplu numeric ∫₁^∞ 1/x dx diverge (p=1), dar ∫₁^∞ 1/x² dx converge (p=2>1).
Verifică întotdeauna convergența înainte de a calcula valoarea integralei.