Matematică Analiză matematică
Derivate de ordin superior
Derivatele de ordin superior sunt derivate luate succesiv de mai multe ori. Derivata a doua, notată f''(x), măsoară concavitatea funcției, iar derivatele de ordin n se calculează derivând derivata de ordin n-1.
Cum se calculează derivatele de ordin superior
- 1 Pasul 1: Calculul derivatei întâi Derivează funcția inițială f(x) pentru a obține f'(x). Exemplu: pentru f(x)=x⁴, f'(x)=4x³.
- 2 Pasul 2: Derivarea succesivă Derivează f'(x) pentru a obține f''(x). Continuă până la ordinul dorit. Pentru f(x)=x⁴, f''(x)=12x², f'''(x)=24x, f⁽⁴⁾(x)=24.
- 3 Pasul 3: Notația Folosește f⁽ⁿ⁾(x) pentru derivata de ordin n. Pentru n=2, scriem f''(x) sau d²f/dx².
Exemple de funcții cu derivate de ordin superior
- Funcție polinomială f(x)=3x³ - 2x are f'(x)=9x²-2, f''(x)=18x, f'''(x)=18, iar derivatele de ordin ≥4 sunt zero.
- Funcție exponențială f(x)=eˣ are toate derivatele egale cu eˣ: f⁽ⁿ⁾(x)=eˣ pentru orice n.
- Funcție trigonometrică f(x)=sin x are f'(x)=cos x, f''(x)=-sin x, f'''(x)=-cos x, f⁽⁴⁾(x)=sin x, cu un ciclu de 4.
Pentru funcțiile polinomiale, derivatele de ordin superior devin zero după un anumit ordin, egal cu gradul polinomului.