Matematică Analiză matematică
Derivata functiei compuse
Derivata unei funcții compuse se calculează folosind regula lanțului. Această regulă spune că derivata funcției f(g(x)) este f'(g(x)) * g'(x). Ea este esențială pentru derivarea funcțiilor complexe formate din compunerea altor funcții.
Formula și explicație
- Notație Dacă y = f(u) și u = g(x), atunci dy/dx = (dy/du) * (du/dx).
- Interpretare Derivata totală este produsul dintre derivata funcției exterioare evaluată în funcția interioară și derivata funcției interioare.
- Exemplu simplu Pentru y = sin(x²), f(u) = sin u, u = x², deci dy/dx = cos(x²) * 2x.
Pași de aplicare
- 1 Identifică funcțiile Descompune funcția compusă în funcția exterioară f și funcția interioară g.
- 2 Derivă funcția exterioară Calculează f'(u), unde u = g(x), fără a modifica u.
- 3 Derivă funcția interioară Calculează g'(x).
- 4 Înmulțește Înmulțește f'(g(x)) cu g'(x) pentru a obține derivata totală.
Exemplu numeric detaliat
- Funcția Să derivăm h(x) = (3x + 1)⁴.
- Descompunere f(u) = u⁴, u = g(x) = 3x + 1.
- Derivate parțiale f'(u) = 4u³, g'(x) = 3.
- Aplicare regulă h'(x) = 4(3x + 1)³ * 3 = 12(3x + 1)³.
Exersează identificarea rapidă a funcției interioare și exterioare pentru a aplica corect regula.