Matematică Algebră
Valoarea unui determinant de ordin 3
Valoarea unui determinant de ordin 3 se calculează folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie sau coloană. Pentru o matrice A = [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]], determinantul det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
Regula lui Sarrus
- 1 Pasul 1: Scrie matricea și repetă primele două coloane Pentru A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], scrie 1,2,3, apoi 1,2; 4,5,6, apoi 4,5; 7,8,9, apoi 7,8.
- 2 Pasul 2: Calculează sumele diagonalelor principale Adună produsele pe diagonalele de la stânga sus la dreapta jos: 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8 = 45 + 84 + 96 = 225.
- 3 Pasul 3: Scade sumele diagonalelor secundare Scade produsele pe diagonalele de la dreapta sus la stânga jos: 3·5·7 + 1·6·8 + 2·4·9 = 105 + 48 + 72 = 225. det(A) = 225 - 225 = 0.
Exemple și aplicații
- Determinant nenul Pentru B = [[2,0,1],[1,3,4],[0,2,5]], det(B) = 2(3·5 - 4·2) - 0 + 1(1·2 - 3·0) = 2(15-8) + 1(2) = 14+2=16.
- Determinant zero Dacă o linie sau coloană este multiplu de alta, determinantul este 0. Exemplu: matrice cu linii 1,2,3 și 2,4,6 are det=0.
- Semnificație geometrică În geometrie, determinantul de ordin 3 dă volumul paralelipipedului format de vectorii linie sau coloană.
Folosește regula lui Sarrus pentru calcule rapide, dar verifică dacă matricea are proprietăți speciale care simplifică calculul.